RELACIONES UNIDAD III

RELACIONES

Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde al menos un elemento del segundo conjunto.
Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero que las relaciones no siempre son funciones.

En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.
Supongamos que el dominio se llama M y el rango, N. Una relación matemática de M en N será un subconjunto del producto cartesiano M x N. Las relaciones, en otras palabras, serán pares ordenados que vinculen elementos de M con elementos de N.
Si M = {5, 7} y N = {3, 6, 8}, el producto cartesiano de M x N serán los siguientes pares ordenados:
M x N = {(5, 3), (5, 6), (5, 8), (7, 3), (7, 6), (7, 8)}
Con este producto cartesiano, se pueden definir diferentes relaciones. La relación matemática del conjunto de pares cuyo segundo elemento es menor a 7 es R = {(5, 3), (5, 6), (7, 3), (7, 6)}
Otra relación matemática que puede definirse es aquella del conjunto de pares cuyo segundo elemento es par: R = {(5, 6), (5, 8), (7, 6), (7, 8)}
Las aplicaciones de las relaciones matemáticas trascienden los límites de la ciencia, ya que en nuestra vida cotidiana solemos hacer uso de sus principios, muchas veces de manera inconsciente. Seres humanos, edificios, electrodomésticos, películas y amigos, entre otros muchos, son algunos de los conjuntos más comunes de interés para nuestra especie, y a diario establecemos relaciones entre ellos para organizarnos y participar de nuestras actividades.
De acuerdo con el número de conjuntos que participen del producto cartesiano, es posible reconocer diversos tipos de relación matemática, algunos de los cuales se definen brevemente a continuación.


RELACION INVERSA

La reciproca de la relación R de A en B es la relación de R ^ -1  de bien A que se define de la siguiente forma
R ^ -1={(y,x)/(x,y)}
(y,x)€R ^1 <-> (x,y)€R
Composición de relación
 Sea R en una relación de A en B y S en relación de B y  C

R C A×B
S C B×C
A partir de esta relación se puede definir. esta relación de AyC llamada composición de R y S

Conjunto

Conjunto vacíoEditar

Artículo principal: Conjunto vacío

El conjunto que no contiene ningún elemento se llama el conjunto vacío y se denota por ∅ o simplemente {}. Algunas teorías axiomáticas de conjuntos aseguran que el conjunto vacío existe incluyendo un axioma del conjunto vacío. En otras teorías, su existencia puede deducirse. Muchas posibles propiedades de conjuntos son trivialmente válidas para el conjunto vacío.

PropiedadesEditar

En la teoría de conjuntos axiomática estándar, por el Axioma de extenionalidad, dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos; por lo tanto sólo puede haber un conjunto sin ningún elemento. Por consiguiente, sólo hay un único conjunto vacío, y hablamos de "el conjunto vacío" en lugar de "un conjunto vacío".

Para cualquier conjunto A:

(Ver operaciones con conjuntos)

• El conjunto vacío es un subconjunto de A:

  ${\displaystyle \forall A:\emptyset \subseteq A}$

• La unión de A con el conjunto vacío es A:

  ${\displaystyle \forall A:A\cup \emptyset =A}$

• La intersección de A con el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  ${\displaystyle \forall A:A\cap \emptyset =\emptyset }$

• El producto cartesiano de A y el conjunto vacío es el conjunto vacío:

  ${\displaystyle \forall A:A\times \emptyset =\emptyset }$

El conjunto vacío tiene las siguientes propiedades:

• Su único subconjunto es el propio conjunto vacío:

  ${\displaystyle \forall A:A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset }$

• El "conjunto de poder" del conjunto vacío es el conjunto que contiene únicamente el conjunto vacío:

  ${\displaystyle 2^{\emptyset }=\{\emptyset \}}$

• Su número de elementos (cardinalidad) es cero:

  ${\displaystyle \mathrm {card} (\emptyset )=0}$

(La lista de símbolos matemáticos empleados se encuentra aquí).

SubconjuntosEditar

Artículo principal: Subconjunto

Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto propio).

Un subconjunto A de un conjunto B, es un conjunto que contiene algunos de los elementos de B (o quizá todos):

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).^{[n 2]}

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Funcion

Función Proposicional

Supongamos los enunciados abiertos: 

" x es la capital de Buenos Aires"

" y + 4 = 11"

Estos no tienen un valor veritativo. Pero si en el primero de ellos hacemos x = La Plata, tenemos:

"La Plata es la capital de Buenos Aires" (V)

Asimismo, si en el segundo hacemos x = 9, resulta:  9 + 4 = 11 (F)

Podemos, entonces, dar la siguiente definición: "Una función proposicional es un enunciado abierto de la forma P_(x) que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable".

Ejemplos:

p_(x) : 2x + 5 > 11 , si x = 4 \ 13 > 11 (Verdadero)

q_(x) : 3x + 7 = 11 , si x = 5 \ 22 = 16 (Falso)

r_(x) : 2x + 1 = 5 , si x = 2 \ 5 = 5 (Verdadero)

s_(x) : x es un animal, si x = mesa se tendrá : mesa es un animal (Falso)

t_(x) : x es un ave, si x = flamenco se tiene: el flamenco es un ave (Verdadero)

Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos " x y $ x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones

Para todo x, se verifica p_(x) se denota por " x : p_(x)

Existe x, tal que se verifica p_(x) se denota por $ x / p_(x)

Corresponden a una función proposicional p_(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

Ejemplo: Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" es "Existen enteros que no son impares"   y en símbolos: $ x / ~ p_(x)

Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional.

Ejemplo:  Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados

La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales:

p_(x) : es alumno de mi colegio

q_(x) : es aplicado

Tenemos:  " x : p_(x) Þ q_(x)

Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:

$ x / p_(x) Ù ~ q_(x)

Simplificacion de circuitos logicos

CIRCUITOS LOGICOS: 

Un circuito con un interruptor puede estar abierto o cerrado cuando  el interuptor esta abierto no permite el paso de corriente mientras que cuando esta cerrado  si lo permite. Si asociamos una proposicion a cda interruptor, intuitivamente  vemos que en el algebra de circuito la V de tal proposicion indica el interruptor cerrado y F el interruptor abierto. Asi el circuito ñogico que representa a una proposicion. 

SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS LÓGICOS :

Una vez que se obtiene la expresión booleana para un circuito lógico, podemos reducirla a una forma más simple que contenga menos términos, la nueva expresión puede utilizarse para implantar un circuito que sea equivalente al original pero que contenga menos compuertas y conexiones

Ejemplo:

Leyes de algebra

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

Leyes del Algebra de Proposiciones

Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebra de proposiciones son las siguientes:

1.     EQUIVALENCIA

P⇔P

2.     INDEPOTENCIA

P∧P ⇔P

P∨ P ⇔P

3.     ASOCIATIVA

P∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R)

P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R)

4.     CONMUTATIVA

P∧Q⇔ Q∧P

P∨Q⇔ Q∨P

5.     DISTRIBUTIVAS

P∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)

P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)

6.     IDENTIDAD

P∧F ⇔ F

P∧V⇔ P

P∨F⇔ P

P∨V⇔V

7.     COMPLEMENTO

P∧¬P⇔F

P∨¬P⇔V

¬(¬P)⇔P

¬F⇔V

¬V⇔F

8.     DE MORGAN

      ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q

       ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q

9.     ABSORCION

P∧(P∨Q)⇔P

P∨(P∧Q)⇔p

Conjucion de valores de verdad

                                Conjuncion

Se llama conjuncion de dos proposiciones, p y q a la proposicion que se obtiene uniendolas por medio del conectivo "Y" se escribe p۸q y se lee "p y q" cuya tabla de valores de verdad es       EJEMPLO 
  
     p          q          p۸q    
     V           V            V
     V           F            F
     F           V            F   
     F           F            F

                                     DISYUNCION
 Se llama distuncion de dos proposiciones p y q a la proposicion que se obtiene uniendolas por medio del conectivo  "O" se escribe p v q y se lee "p o q" cuya tabla de valores de verdad es 

     P          q           pvq
     V          V             V
     V          F             V
     F          V             V
     F          F              F

              IMPLICACION O CONDICIONAL
se llama  implicacion o condicional de dos proposiciones p y q  a la preposicion que se obtiene uniendolas por medio del conectivo " si entonces " se escribe p -> p  q " que se lee si p entonces q" 
         
      p     q      p->q
      V     v        V
      V     F        F
      F     V       V
      F     F       V
             
                 DOBLE IMPLICACION
Se llama doble implicacion de dos proposicio es p y q a la preposicion que se obtiene uniendolas por medio del conectivo"si solo si" se escribe  p <-> q " y se lee p si solo si q" cuya tabla de verdad es

     P           q          p<-> q
     V           V             V
     V           F             F
     F           V             F
     F           F             V

LEYES LOGICAS

Leyes lógicas

 

1.- ley de impotencia

            PʌPΞ P ;  PvPΞ P

2.- Ley conmutativa

            pʌqΞ qʌp ;  pvqΞ qvp

3.- Ley asociativa

            pʌ(qʌr)Ξ (pʌq)ʌr

             pv(qvr)Ξ (pvq)vr

4.-Ley de negación

            ̴( ̴p)Ξ p

pʌ  ̴pΞ F ;  pv  ̴pΞ V  

5.- Ley de identidad

            P ʌ VΞ P  ;   pvFΞ P

6.- Ley de Morgan

            ̴(pvq)Ξ   ̴pʌ  ̴q

            ̴(pʌq)Ξ   ̴pv  ̴q

7.- Ley de implicación

            p→qΞ    ̴pvq

8.-Ley distributiva

            pʌ(qvr)Ξ(pʌq)v(pʌr)

            pv(qʌr)Ξ(pvq)ʌ(pvr)

9.-ley de absorción

            pʌ(pvq)Ξp                p ʌ FΞ F

             pv(pʌq)Ξp               pvVΞ V

10.- definición de doble implicación

            P↔qΞ (p→q)ʌ(q→p)